Как и многих героев греческих мифов философа Гиппоса по слухам покарали боги, но в чем заключалась его преступление. Убивал ли он гостей или прервал какой-то священный ритуал? Нет! Он был виновен в математическом доказательстве, открытии иррациональных чисел.

Революция в математеке

Гиппос принадлежал к группе математиков пифагорейцев, которые относились к числам с религиозным благодарением их изречение: "Все есть число” означало, что вселенная состоит из чисел, а также все начиная от космологии и метафизики, и заканчивая музыкой и моралью следует незыблемым правилам, которые можно описать как соотношение чисел.

Следовательно, каждое число можно записать в виде пропорции. Пять – это пять поделенная на один. 0.5 - это один поделенная на два и так далее. Даже бесконечно длинную десятичную дробь как эту “0.75555555555555555555555” можно точно представить, как 34 поделить на 45. Все эти числа мы называем рациональными, но Гиппос нашел одно число которое нарушило гармония этого правила, число которое не должно было существовать – это корень квадратный из двух.

Проблема начинается в простой фигуре -  квадрате со стороной равной одной единицы. Согласно теоремы Пифагора диагональ квадрата равна квадратному корню из двух. И как Гиппос не старался он не мог выразить это число в пропорции двух целых чисел, но он не сдался и вместо этого решил доказать, что этого нельзя сделать.

Гиппос начал с того, что объявил пифагорейское мировоззрение верным и что квадратный корень из двух может быть записан виде соотношение двух целых чисел. Он обозначил два этих гипотетических числа буквами “P и Q”.

Предполагая, что это соотношение было максимально упрощено можно сказать, что у “P” и “Q” нет общего делителя. Чтобы доказать, что корень из двух не является рациональным числом Гиппосу было необходимо доказать, что ”P” деленое на ”Q” не существует. Поэтому он умножил обе части уравнения на “Q” и возвел обе части в квадрат и получил это уравнение 2Q в квадрате равно 2P в квадрате. Умножение любого числа на два дает четное число.

Поэтому P в квадрате должно быть четным. Равенство было бы неверным, если бы P не было нечетным, так как при умножении нечетного числа на само себя получается нечетное число. Поэтому P четное число, следовательно, P может быть выражено как 2A где A - целое число. Подставив его в уравнение и упростив, получаем Q в квадрате равно 2А в квадрате.

Еще раз любое число помноженная на 2 дает четное число, следовательно, Q в квадрате должно быть четным, а значит и само Q тоже должно быть четным получаем, что и P, и Q четные числа, но если это верно, то они должны делиться на два, а это противоречит изначальному утверждению. И вот так Гиппос сделал вывод, что не существует такой пропорции.

Это называется доказательство от противного и согласно легенде, богам не понравилось это противоречие. Любопытно, что хотя мы не можем представить иррациональные числа виде соотношение целых чисел мы можем точно изобразить их на числовой прямой. Возьмем корень из двух все, что нам нужно это нарисовать прямоугольный треугольник, катеты которого равны одному. Его гипотенуза равна корню из двух и ее можно спроецировать на числовую прямую.

Затем мы можем нарисовать другой прямоугольный треугольник больше катит, которого равен гипотенузе первого треугольника, а меньший катет равен единицы и гипотенуза этого треугольника будет равна корню из трех, что также может быть спроецировано на числовую прямую. Суть в том, что десятичные дроби и соотношения являются всего лишь способом записи чисел, а корень из двух является просто гипотенузой прямоугольного треугольника с длиной катетов равной одному.

Точно так же известное иррациональное число Пи всегда равно только тому, что она собой представляет, а именно соотношению длины окружности к ее диаметру. Округление до двадцати двух седьмых или трехсот пятидесяти пяти поделённые на сто тринадцать никогда не будут точно равно Пи. Мы никогда не узнаем, что на самом деле произошло с Гиппосом, но мы точно знаем, что его открытие было математической революцией. Поэтому, что бы там не гласили мифы не бойтесь открывать невозможное.